ベイジアンネットワークを少しだけかじった

WSDM2012のExploring Social Inﬂuence via Posterior Effect of
Word-of-Mouth Recommendationsという論文を読んでいたら、ベイジアンネットワークなるものが出てきた。

論文の内容はソーシャルメディア上での口コミが与える影響みたいな感じですが、この辺で詰んだのでちょっと調べてみた。

この資料がとてもわかりやすかったので、ほぼそのまま
http://www.ne.jp/asahi/hiroki/suyari/BayesianNetworkIntro1.pdf

ネットワークの特徴として
１．各ノードがそれぞれ確率変数で表され
２．ノード間の矢印が因果関係を表し
３．その因果関係が条件付確率で定量化されている有向非循環グラフ

ということらしい。

こんなん

各々のノードに確率変数が与えられていて、各矢印が、 $D_1,\dots,D_3$ が $T_1,T_2$ に与える影響を表している。
この影響の度合いは、条件付き確率で定義される。

簡単な例

※一番下の行は1，1でした。

ここで、 $T_1=1$ となるとき、その要因となる因子を知りたいとする。このとき、明確な答えが出せないので、確信度という指標を利用する。

$BEL(X)=P(X|e)$

今回の問題の場合は、

$BEL(D_1=1)=P(D_1|T_1=1)$
$BEL(D_2=1)=P(D_2|T_1=1)$
$BEL(D_1=1,D_2=1)=P(D_1,D_2|T_1=1)$

となる。つまり、事後確率になる。

一番上だけベイズの定理を利用して解くと

$P(D_1|T_1=1)=\frac{P(D_1,T_1=1)}{P(T_1=1)}=\frac{P(T_1|D_1=1)P(D_1=1)}{P(T_1=1)}$
$=\frac{0.001*0.998*0.940+0.001*0.002*0.950}{0.999*0.998*0.001+0.999*0.002*0.290+0.001*0.998*0.940+0.001*0.002*0.950} \approx 0.37$

ほかの値は

$P(D_2|T_1=1) \approx 0.23,P(D_1,D_2|T_1=1) \approx 0.00076$

今回の場合は、 $D_1$ が高くなる一方で、同時に起こる可能性は低いこともわかる。

実際には、収集データの不足の補完（EMアルゴリズム）や、グラフ構造の決定などの課題があるらしい。

本当は簡単なコードかこうと思ったけど、ちょっとつらいので、なし。